Câu hỏi:

Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, \(OC = a\sqrt 3 \). Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), \(OA = a\sqrt 3 \), gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM.

A. \(h = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

B. \(h = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

C. \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{{15}}\)

Câu 1:

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn \({\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất P_min của biểu thức P = x+3y.

A. \({P_{\min }} = \frac{{17}}{2}.\)

B. \({P_{\min }} = 9.\)

C. \({P_{\min }} = \frac{{25\sqrt 2 }}{4}.\)

D. \({P_{\min }} = 8.\)

Câu 2:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - 8x\).

A. \(\cos x - 4{x^2} + C\)

B. \( - \cos x - 4{x^2} + C\)

C. \(\cos x + 4{x^2} + C\)

D. \( - \cos x + C\)

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông tại A, \(AB = 2a\,\,,\,AC = 4a\,\,,\,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a( minh hoạ như hình bên). Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng

A. \(\frac{{2a}}{3}\)

B. \(\frac{{\sqrt 6 a}}{3}\)

C. \(\frac{{\sqrt 3 a}}{3}\)

D. \(\frac{a}{2}\)

Câu 4:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M , N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA', BB', CC' sao cho AM = 2MA', NB' = 2NB, PC = PC'. Gọi V₁, V₂ lần lượt là thể tích của hai khối đa diện ABCMNP và A'B'C'MNP. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2\)

B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\)

C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\)

D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{2}{3}\)

Câu 5:

Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh 2a, AA' = 2a, góc giữa B'D và mặt đáy bằng 30^o. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

A. \(\frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(2\sqrt 3 {a^3}\)

C. \(4\sqrt 3 {a^3}\)

D. \(\frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Biết \(SA = a,\;SN = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\), \(\widehat {SCA} = {45^0}\). Tính khoảng cách từ điểm SM tới đường thẳng BC (minh hoạ như hình bên) .

A. \(\frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\)

B. \(\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\)

C. \(\frac{a}{2}\)

D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)