Câu hỏi:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0) = 0. Biết \(\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} = \frac{9}{2}\) và \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)\cos \frac{{\pi x}}{2}dx} = \frac{{3\pi }}{4}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng.

A. \(\frac{6}{\pi }\)

B. \(\frac{2}{\pi }\)

C. \(\frac{4}{\pi }\)

D. \(\frac{1}{\pi }\)

Câu 1:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình \(\frac{1}{2}f\left( x \right) - m = 0\) có đúng hai nghiệm phân biệt.

A. \(\left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m < - \frac{3}{2} \end{array} \right.\)

B. m < -3

C. \(m <  - \frac{3}{2}\)

D. \(\left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m < - 3 \end{array} \right.\)

Câu 2:

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau

Biết f(0) < 0, hỏi phương trình f(|x|) = f(0) có bao nhiêu nghiệm?

A. 4

B. 2

C. 3

D. 5

Câu 3:

Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + \ln x} }}{x}dx} \). Đổi biến \(t = \sqrt {1 + \ln x} \) ta được kết quả nào sau đây?

A. \(I = \int\limits_1^{\sqrt 2 } {{t^2}dt} \)

B. \(I = 2\int\limits_1^{\sqrt 2 } {{t^2}dt} \)

C. \(I = 2\int\limits_1^2 {{t^2}dt} \)

D. \(I = 2\int\limits_1^{\sqrt 2 } {tdt} \)

Câu 4:

Tìm tập xác định của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\)

A. \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

B. (1;2)

C. \(\left( {2; + \infty } \right)\)

D. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

Câu 5:

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác đều ABC cạnh bằng 1 quanh AB.

A. \(\frac{{3\pi }}{4}\)

B. \(\frac{{\pi }}{4}\)

C. \(\frac{{\pi }}{8}\)

D. \(\frac{{\pi \sqrt 3 }}{2}\)

Câu 6:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên dưới đây. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)