Câu hỏi:

Kí hiệu $\mathrm{k}!=\mathrm{k}(\mathrm{k}-1)...2.1,\forall \mathrm{k}\in {\mathrm{N}}^{*}$ đặt ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=1.1!+2.2!+...+\mathrm{n}.\mathrm{n}!$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=2.\mathrm{n}!$

B. B. ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=(\mathrm{n}+1)!-1$

C. C. ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=(\mathrm{n}+1)!$

D. D. ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=(\mathrm{n}+1)!+1$

Câu 1:

Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:

A. n = k -1

B. B. n = k -2

C. C. n = k +1

D. D. n = k +2

Câu 2:

Với $\mathrm{n}\in {\mathrm{N}}^{*}$, hãy rút gọn biểu thức $\mathrm{S}=1.4+2.7+3.10+...$$+\mathrm{n}(3\mathrm{n}+1)$

A. $\mathrm{S}=\mathrm{n}{(\mathrm{n}+1)}^2$

B. B. $\mathrm{S}=\mathrm{n}{(\mathrm{n}+2)}^2$

C. C. $\mathrm{S}=\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)$

D. D. $\mathrm{S}=2\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)$

Câu 3:

Một học sinh chứng minh mệnh đề $\text{'}\text{'}{8}^{\mathrm{n}}+1$ chia hết cho 7, $\forall \mathrm{n}\in {\mathrm{N}}^{*}\text{'}\text{'}(*)$ như sau:

Giả sử (*) đúng với n = k tức là $8^{\mathrm{k}}$ + 1 chia hết cho 7

Ta có: $8^{\mathrm{k}+1}$ + 1 = 8$(8^{\mathrm{k}}+1)$ - 7, kết hợp với giả thiết $8^{\mathrm{k}}$ + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được $8^{\mathrm{k}+1}$ + 1 chia hết cho 7.

Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi $\mathrm{n}\in {\mathrm{N}}^{*}$

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Học sinh trên chứng minh đúng.

B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.

C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.

D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp

Câu 4:

Với mọi số tự nhiên $\mathrm{n}\ge 2$ bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $3^{\mathrm{n}}>4\mathrm{n}+1$

B. B. $3^{\mathrm{n}}>4\mathrm{n}+2$

C. C. $3^{\mathrm{n}}>3\mathrm{n}+2$

D. Cả ba đều đúng

Câu 5:

Với mỗi số nguyên dương n, đặt $\mathrm{S}=1^2+2^2+...+{\mathrm{n}}^2$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)}{6}$

B. B. $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(2\mathrm{n}+2)}{3}$

C. C. $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(2\mathrm{n}+1)}{6}$

D. D. $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)}{3}$

Câu 6:

Chứng minh ${\mathrm{n}}^3+3{\mathrm{n}}^2+5\mathrm{n}$ chia hết cho 3

A.