Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau $f\left(x\right)>0;f\text{'}\left(x\right)=\frac{x.f\left(x\right)}{\sqrt{x^2+1}};\forall x\in R$ và f(0)=e. Giá trị của $f\left(\sqrt{3}\right)$ bằng:

$e^{-1}$

A. $e^2$

B. e 

C. $e^{-2}$ 

Câu 1:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=ta{n}^{5}x$

$\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{4}{\tan }^{4}x-\frac{1}{2}{\tan }^{2}x+\ln \left|\cos x\right|+C$

A. $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{4}{\tan }^{4}x-\frac{1}{2}{\tan }^{2}x-\ln \left|\cos x\right|+C$

B. $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{4}{\tan }^{4}x+\frac{1}{2}{\tan }^{2}x-\ln \left|\cos x\right|+C$

C. $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{4}{\tan }^{4}x+\frac{1}{2}{\tan }^{2}x+\ln \left|\cos x\right|+C$ 

Câu 2:

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin5x+2.

$5\cos 5x+C$

A. $-\frac{1}{5}\cos 5x+2x+C$

B. $\frac{1}{5}\cos 5x+2x+C$

C. $\cos 5x+2x+C$ 

Câu 3:

Hàm số F(x) = cos3x là nguyên hàm của hàm số:

$f\left(x\right)=\frac{\sin 3x}{3}$

A. $f\left(x\right)=-3\sin 3x$

B. $f\left(x\right)=3\sin 3x$

C. $f\left(x\right)=-\sin 3x$ 

Câu 4:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=-\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ thỏa mãn F(0) = 1. Tìm F(x)

$F\left(x\right)=\tan x-1$

A. $F\left(x\right)=-\tan x$

B. $F\left(x\right)=\tan x+1$

C. $F\left(x\right)=-\tan x+1$ 

Câu 5:

Cho hàm số f (x) liên tục, $f\left(x\right)>-1, f\left(0\right)=0$ và thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)\sqrt{x^2+1}=2x\sqrt{f\left(x\right)+1}$. Tính $f\left(\sqrt{3}\right)$

A. 0

B. 3

C. 7

D. 9

Câu 6:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2\sin x+2\cos x}{xsinx+cosx}$. Biết F(0)=1, tính giá trị biểu thức $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

$\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{2}+\ln \frac{\mathrm{\pi }}{2}+1$

A. $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}-\ln \frac{\mathrm{\pi }}{2}+1$

B. $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{8}$

C. $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{8}+\ln \frac{\mathrm{\pi }}{2}+1$