Câu hỏi:

Cho ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 1$. Tính ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(2{\sin }^{2}x-1\right)f\left(\sin 2x\right)dx$

$\frac{1}{2}$

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;1] và ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(\sin x\right)dx=5$. Tính $I={\int }_0^{\mathrm{\pi }}xf\left(\sin x\right)dx$

Biết ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\frac{{\cos }^{2}x+\sin x\cos x+1}{co{s}^{4}x+sinxco{s}^{3}x}dx=a+b\ln 2+c\ln \left(1+\sqrt{3}\right)$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng:

Biết rằng ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{\cos 2x}{(sinx-cosx+3{)}^2}dx=a+\ln b$ với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a+3b bằng:

Tính tích phân $I={\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}dx$ ta được:

Giá trị của a để đẳng thức ${\int }_1^2\left[a^2+\left(4-4a\right)x+4x^3\right]dx={\int }_2^{4}2xdx$ là đẳng thức đúng

Cho hàm số bậc ba $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ (a,b,c thuộc R) thỏa mãn f(1)=10, f(2)=20. Khi đó ${\int }_0^{3}f\text{'}\left(x\right)dx$ bằng: