Câu hỏi:

Cho ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 1$. Tính ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\left(2{\sin }^{2}x-1\right)f\left(\sin 2x\right)dx$

$\frac{1}{2}$

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $[0;+\infty )$ và ${\int }_0^{x}f\left(t\right)dt=x\sin \left(\mathrm{\pi x}\right)$. Tính f(4)

Cho hàm số f (x) liên tục trên [-1;2] và thỏa mãn điều kiện $f\left(x\right)=\sqrt{x+2}+xf\left(3-x^2\right)$. Tính tích phân $I={\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)dx$

Biết rằng ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{\cos 2x}{(sinx-cosx+3{)}^2}dx=a+\ln b$ với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a+3b bằng:

Tìm hai số thực A, B sao cho $f\left(x\right) = A \mathrm{sin\pi }x + B$, biết rằng f'(1)=2 và ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=4$

Cho tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{6\tan x}{{\cos }^{2}x\sqrt{3\tan x+1}}dx$. Giả sử đặt $t=\sqrt{3\tan x+1}$ thì ta được

Giá trị của a để đẳng thức ${\int }_1^2\left[a^2+\left(4-4a\right)x+4x^3\right]dx={\int }_2^{4}2xdx$ là đẳng thức đúng