Câu hỏi:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2\sin x+2\cos x}{xsinx+cosx}$. Biết F(0)=1, tính giá trị biểu thức $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

$\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{2}+\ln \frac{\mathrm{\pi }}{2}+1$

A. $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}-\ln \frac{\mathrm{\pi }}{2}+1$

B. $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{8}$

C. $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{8}+\ln \frac{\mathrm{\pi }}{2}+1$ 

Câu 1:

Cho nguyên hàm $I=\int \frac{x^2-1}{x^3}dx$. Nếu đổi biến số $x=\frac{1}{\sin t}$ với $t\in \left[\frac{\mathrm{\pi }}{4};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ thì:

A. $I=-\int {\cos }^{2}tdt$

B. $I=\int {\sin }^{2}tdt$

C. $I=\int {\cos }^{2}tdt$

D. $I=\frac{1}{2}\int \left(1+\cos 2t\right)dt$ 

Câu 2:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos2x

$\int \cos 2xdx=2\sin 2x+C$

A. $\int \cos 2xdx=-\frac{1}{2}\sin 2x+C$

B. $\int \cos 2xdx=\sin 2x+C$

C. $\int \cos 2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x+C$ 

Câu 3:

Cho hàm số f(x) xác định trên R\{-1;1} và thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x^2-1}$. Biết $f\left(-3\right)+f\left(3\right)=0$ và $f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=2$. Tính $T=f\left(-2\right)+f\left(0\right)+f\left(5\right)$

$\frac{1}{2}\ln 2-1$ $\ln 2+1$

A. $\frac{1}{2}\ln 2+1$

B. $\ln 2-1$ 

Câu 4:

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau $f\left(x\right)>0;f\text{'}\left(x\right)=\frac{x.f\left(x\right)}{\sqrt{x^2+1}};\forall x\in R$ và f(0)=e. Giá trị của $f\left(\sqrt{3}\right)$ bằng:

$e^{-1}$

A. $e^2$

B. e 

C. $e^{-2}$ 

Câu 5:

Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x là:

$-3\sin 3x+C$

A. $-\frac{1}{3}\sin 3x+C$

B. $-\sin 3x+C$$\frac{1}{3}\sin 3x+C$

C. $\frac{1}{3}\sin 3x+C$ 

Câu 6:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{3x^2+2}}$

A. $\int f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}\sqrt{3x^2+2}+C$

B. $\int f\left(x\right)dx=-\frac{1}{3}\sqrt{3x^2+2}+C$

C. $\int f\left(x\right)dx=6\sqrt{3x^2+2}+C$

D. $\int f\left(x\right)dx=\frac{2}{3}\sqrt{3x^2+2}+C$