Câu hỏi:

Cho tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{6\tan x}{{\cos }^{2}x\sqrt{3\tan x+1}}dx$. Giả sử đặt $t=\sqrt{3\tan x+1}$ thì ta được

$I=\frac{4}{3}{\int }_1^2\left(2u^2+1\right)du$

Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện $x.f\left(x^3\right)+f(x^2-1)=e^x, \forall x\in R$. Khi đó giá trị của ${\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)dx$ là:

Cho f (x) là hàm số liên tục trên tập số thực R và thỏa mãn $f\left(x^2+3x+1\right)=x+2$. Tính $I={\int }_1^{5}f\left(x\right)dx$

Cho hàm số f (x) liên tục trên [-1;2] và thỏa mãn điều kiện $f\left(x\right)=\sqrt{x+2}+xf\left(3-x^2\right)$. Tính tích phân $I={\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)dx$

Một xe ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 16m/s thì người lái xe nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)=-2t+16 trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đạp phanh. Quãng đường mà ô tô đi được trong 10 giây cuối cùng bằng:

Biết ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\frac{{\cos }^{2}x+\sin x\cos x+1}{co{s}^{4}x+sinxco{s}^{3}x}dx=a+b\ln 2+c\ln \left(1+\sqrt{3}\right)$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên tập số thực thỏa mãn $f\left(x\right)+(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)=50x^3-60x^2+23x-1$, $\forall x\in R$. Giá trị của biểu thức ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng