Câu hỏi:

Cho tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{6\tan x}{{\cos }^{2}x\sqrt{3\tan x+1}}dx$. Giả sử đặt $t=\sqrt{3\tan x+1}$ thì ta được

$I=\frac{4}{3}{\int }_1^2\left(2u^2+1\right)du$

A. $I=\frac{2}{3}{\int }_1^2\left(u^2-1\right)du$

B. $I=\frac{4}{3}{\int }_1^2\left(u^2-1\right)du$

C. $I=\frac{4}{3}{\int }_1^2\left(2u^2-1\right)du$ 

Câu 1:

Tính tích phân $I={\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}dx$ ta được:

$\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}+ln\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1}$

A. $\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}+ln\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{3}}$

B. $\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}$

C. $ln\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1}$ 

Câu 2:

Tính tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}(1-cosx{)}^{n}sinxdx$ bằng:

A. $I=\frac{1}{n+1}$

B. $I=\frac{1}{n-1}$

C. $I=\frac{1}{2n}$

D. $I=-\frac{n}{n+1}$ 

Câu 3:

Cho $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\text{cos}x}{{\sin }^{2}x-5\sin x+6}dx=a\ln \frac{4}{b}$. Giá trị của a + b bằng:

A. 0

B. 1

C. 4

D. 3

Câu 4:

Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện $x.f\left(x^3\right)+f(x^2-1)=e^x, \forall x\in R$. Khi đó giá trị của ${\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)dx$ là:

A. 3(1-e)

B. 3e

C. 0

D. 3(e-1)

Câu 5:

Biết ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{3\sin x+\cos x}{2\sin x+3\cos x}dx=-\frac{7}{13}\ln 2+b\ln 3+c\mathrm{\pi }\left(\mathrm{b},\mathrm{c}\in \mathrm{Q}\right)$. Tính $\frac{b}{c}$

$\frac{13}{9\mathrm{\pi }}$

A. $\frac{14}{9}$

B. $\frac{14}{9\mathrm{\pi }}$

C. $\frac{14\mathrm{\pi }}{9}$ 

Câu 6:

Tìm hai số thực A, B sao cho $f\left(x\right) = A \mathrm{sin\pi }x + B$, biết rằng f'(1)=2 và ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=4$

$\left\{\begin{array}{l}A=-2\\ B=-\frac{2}{\mathrm{\pi }}\end{array}\right.$

A. $\left\{\begin{array}{l}A=2\\ B=-\frac{2}{\mathrm{\pi }}\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}A=-2\\ B=\frac{2}{\mathrm{\pi }}\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}A=-\frac{2}{\mathrm{\pi }}\\ B=2\end{array}\right.$