Câu hỏi:

Tính tổng sau: $\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\cdot \cdot \cdot$$+\frac{1}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)\left(\mathrm{n}+2\right)}$

Đặt ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...$$+\frac{1}{(2\mathrm{n}-1)(2\mathrm{n}+1)}$ với $\mathrm{n}\in \mathrm{N}*$. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên n thỏa mãn $\mathrm{n}\ge 3$ thì:

Chứng minh $1^3+2^3+3^3+\cdot \cdot \cdot +{\mathrm{n}}^3$$=\frac{{\mathrm{n}}^2{\left(\mathrm{n}+1\right)}^2}{4}\left(1\right)$

Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì:

$1.2.3+2.3.4+3.4.5+\cdot \cdot \cdot$$+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)\left(\mathrm{n}+2\right)$$=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)\left(\mathrm{n}+2\right)\left(\mathrm{n}+3\right)}{4}$ (1)

Cho tổng ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}$. Mệnh đề nào đúng?

Với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$, ta có: $\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)...\left(1-\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}\right)$$=\frac{\mathrm{an}+2}{\mathrm{bn}}$, trong đó a, b là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức $\mathrm{T}={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$