Câu hỏi:

Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số nguyên dương n thì:

Cho x là số thực khác 0 và $\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}$ là số nguyên. Chứng minh rằng: ${\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}$ cũng là số nguyên với $\forall \mathrm{n}\in \mathrm{N}*$

Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì: ${\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}\ge {(\mathrm{n}+1)}^{\mathrm{n}-1}$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì ${(\mathrm{n}!)}^2\ge {\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$ thì $\frac{1}{\mathrm{n}+1}+\frac{1}{\mathrm{n}+2}+....+\frac{1}{\mathrm{n}+\mathrm{n}}$$\hspace{0.17em}>\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{13}{24}$ (*)

Chứng minh rằng: $\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{3}{27}+....+\frac{\mathrm{n}}{3^{\mathrm{n}}}$$=\frac{3}{4}-\frac{2\mathrm{n}+3}{4{.3}^{\mathrm{n}}}$ (1)

So sánh $\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}}{2}$ và ${\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}\right)}^{\mathrm{n}}$, với $\text{a≥0;b≥0,n∈N*}$ ta được: