Câu hỏi:

Cổng Arch tại thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol (hình vẽ). Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 162m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao 43m so với mặt đất (điểm M), người ta thả một sợi dây chạm đất (dây căng thẳng theo phương vuông góc với đất). Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng A một đoạn 10m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng).

Đồ thị hàm số y = x − 2m + 1 tạo với hệ trục tọa độ Oxy tam giác có diện tích bằng $\frac{25}{2}$. Khi đó m bằng:

Hỏi có bao nhiêu giá trị mm nguyên trong nửa khoảng (0; 2017] để phương trình |${\mathrm{x}}^2$ − 4|x |−5| − m = 0 có hai nghiệm phân biệt?

Khi quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống đất. Biết rằng quỹ đạo của quả là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây ), kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao( tính bằng mét ) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6m. Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.

Cho parabol (P): y = a${\mathrm{x}}^2$ + bx + c (a $\ne$ 0) có đồ thị như hình bên. Tìm các giá trị m để phương trình |ax2 + bx + c| = m có bốn nghiệm phân biệt.

Tìm tất cả các giá trị mm để đường thẳng y = mx + 3 − 2m cắt parabol y = ${\mathrm{x}}^2$ − 3x − 5 tại 2 điểm phân biệt có hoành độ trái dấu.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2) và B (3; 4). Điểm P ( $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$; 0) (với $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ là phân số tối giản, b > 0) trên trục hoành thỏa mãn tổng khoảng cách từ P tới hai điểm A và B là nhỏ nhất. Tính S = a + b.